Mathesis Κλασική Μηχανική 2: Αναλυτική Μηχανική (Νέο)

iGuRu.gr > Mathesis Κλασική Μηχανική 2: Αναλυτική Μηχανική (Νέο)

3 min read

Τα μαθήματα του Mathesis προσφέρονται δωρεάν και έτσι θα συνεχίσουν. Μπορείτε να τα παρακολουθήσετε μέχρι τέλους και να συμμετέχετε στα εβδομαδιαία τεστ και την τελική εξέταση. Στα περισσότερα μαθήματα θα σας ζητείται όμως ένα μικρό αντίτιμο —της τάξης των 20€— για την έκδοση της βεβαίωσης επιτυχούς παρακολούθησης, εφόσον βέβαια την δικαιούστε έχοντας εξασφαλίσει την απαιτούμενη ελάχιστη επίδοση του 50%.

Στα πρώτα μαθήματα μηχανικής μαθαίνουμε ότι, αν γνωρίζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα, τότε ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα αρκεί για να προσδιορίσουμε την κίνησή του. Αυτό όμως δεν είναι πάντοτε αρκετό. Σε πολλά συστήματα η κίνηση περιορίζεται από δεσμούς, και τότε εμφανίζονται δυνάμεις που δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων, αλλά καθορίζονται από την ίδια την κίνηση.

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η μπίλια που κινείται στο αυλάκι μιας ρουλέτας: η δύναμη που ασκεί το αυλάκι δεν είναι μια δεδομένη δύναμη όπως το βάρος, αλλά εξαρτάται από την ταχύτητα και την τροχιά της χάντρας. Έτσι γίνεται φανερό ότι η Νευτώνεια διατύπωση, αν και θεμελιώδης, δεν είναι πάντα η πιο φυσική ή η πιο αποτελεσματική γλώσσα για την περιγραφή της κίνησης.https://www.youtube.com/watch?v=xzxEXU9hU34Αυτό ακριβώς το κενό έρχεται να καλύψει η Αναλυτική Μηχανική. Αντί να ξεκινά από τις επιμέρους δυνάμεις, περιγράφει την κίνηση με όρους γενικευμένων συντεταγμένων και αρχών που ενσωματώνουν εξαρχής τους περιορισμούς του συστήματος. Με αυτόν τον τρόπο προσφέρει ένα ενιαίο, κομψό και ισχυρό πλαίσιο για τη μελέτη της κλασικής μηχανικής, αλλά και το απαραίτητο υπόβαθρο για τη μετάβαση στη σύγχρονη θεωρητική φυσική.Το μάθημα αποτελεί εισαγωγή στην Αναλυτική Κλασική Μηχανική για όσους γνωρίζουν ήδη τη βασική Νευτώνεια Μηχανική. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζεται η λαγκρανζιανή διατύπωση, με αφετηρία την αρχή του d’Alembert, και στη συνέχεια οι εξισώσεις Euler–Lagrange προκύπτουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης του Hamilton. Μέσα από αυτή τη νέα οπτική αναδεικνύεται μια διατύπωση της μηχανικής που υπερβαίνει το αποκλειστικά νευτώνειο σχήμα και ανοίγει τον δρόμο προς τη θεωρητική φυσική του 20ού αιώνα, όπως η κβαντομηχανική και η γενική σχετικότητα. Παρουσιάζεται επίσης, σε εισαγωγικό επίπεδο, το θεώρημα της Noether, ώστε να φανεί η σχέση ανάμεσα στις συμμετρίες της φύσης και στους νόμους διατήρησης, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο μπορούν να αναγνωριστούν διατηρήσιμα μεγέθη από τη μορφή της Λαγκρανζιανής. Το μέρος αυτό ολοκληρώνεται με μια πρώτη εισαγωγή στη χαμιλτονιανή διατύπωση και στις κανονικές εξισώσεις κίνησης.

Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος η αναλυτική μηχανική εφαρμόζεται στη μελέτη της κίνησης του στερεού σώματος. Εισάγονται οι γωνίες Euler, η γενική περιγραφή της θέσης και του προσανατολισμού ενός στερεού σώματος, καθώς και η γενική έκφραση της κινητικής του ενέργειας. Παρουσιάζονται οι ροπές αδράνειας, ο τανυστής αδράνειας και οι κύριοι άξονες, και ακολουθεί η μελέτη χαρακτηριστικών παραδειγμάτων, όπως η περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα, το φυσικό εκκρεμές, η σβούρα και το tippe top, όλα μέσα στο πλαίσιο της λαγκρανζιανής προσέγγισης. Στόχος του μαθήματος είναι να προσφέρει όχι μόνο τεχνικά εργαλεία για την επίλυση προβλημάτων, αλλά και μια βαθύτερη κατανόηση των εννοιών που συνδέουν την κλασική μηχανική με τη σύγχρονη φυσική.

Προαπαιτούμενα: Διαφορικός λογισμός, διανυσματική ανάλυση, διαφορικές εξισώσεις, Νευτώνεια μηχανική

https://mathesis.cup.gr/courses/course-v1:Physics+Phys4.2+26B/about

ΔιδάσκωνΚώστας Τάσσης Ο Κώστας Τάσσης είναι καθηγητής Θεωρητικής Αστροφυσικής στο Πανεπιστήμιο Κρήτης. Πήρε πτυχίο στη Φυσική από το Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και διδακτορικό στην Αστροφυσική από το Πανεπιστήμιο του Ιλλινόις. Εργάστηκε ως μεταδιδακτορικός υπότροφος στο Ινστιτούτο Κοσμολογίας του Πανεπιστημίου του Σικάγο από το 2005 έως το 2008, στο JPL της NASA από το 2008 έως το 2011, και στο Ινστιτούτο Max Planck στη Βόννη από το 2011 έως το 2012 οπότε και στη συνέχεια μετακινήθηκε στην Κρήτη. Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα επικεντρώνονται στη θεωρία της Αστρικής Γένεσης, τη Φυσική του Πλάσματος (Μαγνητοϋδροδυναμική) και την Κοσμολογία. Ηγείται του διεθνούς πειράματος PASIPHAE (http://pasiphae.science), που στοχεύει στην χαρτογράφηση του διαστρικού μαγνητικού πεδίου και της διαστρικής μαγνητικής σκόνης στο Γαλαξία μας, ώστε να καταστεί δυνατή η ανίχνευση του αποτυπώματος των πρώτων στιγμών του Σύμπαντος.

Εθελόντρια βοηθός μαθήματοςΧρυσή Κουκουράκη